Manipulation de coefficients binomiaux

1.

Démontrer pour tout entier $n$ l'égalité suivante :

$\sum\limits_{p=0}^{n} \frac{1}{p+1} \binom{n}{p} = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}$

Utiliser le résultat suivant : $\forall ~ p \in \llbracket 0, n \rrbracket$ ,

\frac{n+1}{p+1} \binom{n}{p} = \binom{n+1}{p+1}

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ .

On a :

\begin{aligned}\frac{n+1}{p+1} \binom{n}{p}&= \frac{n+1}{p+1} \cdot \frac{n!}{p! (n-p)!} \\ &= \frac{(n+1)!}{(p+1)! (n+1-p-1)!} \\&= \binom{n+1}{p+1}\end{aligned}

Il vient :

\begin{aligned}\sum\limits_{p=0}^{n} \frac{1}{p+1} \binom{n}{p}&= \sum\limits_{p=0}^{n} \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{p+1} \\ &= \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} \qquad \text{(changement d'indice $k = p+1$)} \end{aligned}

D'après la formule du binôme de Newton, nous avons :

\begin{aligned}2^{n+1}&= \sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} \\ &= 1 + \sum\limits_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} \qquad \text{puisque $\binom{n+1}{0} = 1$} \end{aligned}

D'où l'on déduit que :

\boxed{\sum\limits_{p=0}^{n} \frac{1}{p+1} \binom{n}{p} = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}}

Exoprep