Démontrer pour tout entier $n$ l'égalité suivante :

$$\sum\limits_{p=0}^{n} \frac{1}{p+1} \binom{n}{p} = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}$$

Utiliser le résultat suivant : $\forall ~ p \in \llbracket 0, n \rrbracket$,

$$\frac{n+1}{p+1} \binom{n}{p} = \binom{n+1}{p+1}$$

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$.

On a :

$$\begin{aligned} \frac{n+1}{p+1} \binom{n}{p} &= \frac{n+1}{p+1} \cdot \frac{n!}{p! (n-p)!} \\ &= \frac{(n+1)!}{(p+1)! (n+1-p-1)!} \\ &= \binom{n+1}{p+1} \end{aligned}$$

Il vient :

$$\begin{aligned} \sum\limits_{p=0}^{n} \frac{1}{p+1} \binom{n}{p} &= \sum\limits_{p=0}^{n} \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{p+1} \\ &= \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} \qquad \text{(changement d'indice $k = p+1$)} \end{aligned}$$

D'après la formule du binôme de Newton, nous avons :

$$\begin{aligned} 2^{n+1} &= \sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} \\ &= 1 + \sum\limits_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} \qquad \text{puisque $\binom{n+1}{0} = 1$} \end{aligned}$$

D'où l'on déduit que :

$$\boxed{\sum\limits_{p=0}^{n} \frac{1}{p+1} \binom{n}{p} = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}}$$